力学的几何化——变换群与动力系统

1637年笛卡尔 (Rene Descartes, 1596-1650) 发表《La Géométrie》奠定了解析几何的基础。从而产生了坐标变换的概念。

1893年李 (Marius Sophus Lie, 1842-1899) 出版了他积九年研究的成果于三卷书《Theorie der Transformationsgruppen》中，奠定了李群也就是变换群的基础。

1872年，德国数学家克莱因 (Felix Christian Klein, 1849-1925) 在论文《Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen 》中提出以变换来区分非欧几何的理论。后来被称为Erlangen program 爱尔朗根纲领。他将欧氏几何、罗巴切夫斯基非欧几何，以及狭义的黎曼非欧几何等度量几何，都统一于射影几何而成为射影几何的特例。他将到他那时的几何，分为射影几何、仿射几何和欧氏几何，这不同的几何对应于不同的变换群。并且称：“给了一个流形和这个流形的一个变换群，建立关于这个群的不变性理论。”就是说，几何学是研究变换群作用下图形和形体的不变性质的。这个思想成为后来几何学发展的纲领。后来人们引进了空间的连续变换群，开辟了一种新的几何：研究在连续变换群作用之下的不变的性质的几何成为一门新的几何领域，这门新的几何就是拓扑学。

在引进了坐标和时间的变换后，人们自然要讨论在这些变换下，哪些力学量保持不变。于是，人们定义了以下三个力学量，即 ：

人们立即发现，这三个力学量分别在坐标的平移、旋转和时间的平移之下保持不变。这就是著名的力学中的三大守恒定律。

1904年罗伦茨 (H. Lorentz, 1853-1928) 引进了时间和空间变量的罗伦茨变换，在罗伦茨变换下，时空距离dx2+dy2+dz2-c2dt2 是不变量。其中，c 是光速。罗伦茨变换在后来相对论的发展中起了非常重要的作用。

在研究了许多个别的不变量之后，人们需要从一般的观点来讨论变换和不变量。在力学问题被牛顿和拉普拉斯等人提为微分方程组之后，一个力学系统的变化可以用动力系统

设给定初值为x0，它的解是

这个解实际上给出了从x0 到x 的一个带参数t 的变换。李是系统研究这种变换的第一人。这个变换构成了一个单参数变换群，也称为单参数李群。

设g(x) 为x 的任一函数，一般来说如果

则g(x) 就是在变换

之下的一个不变量。显然这个条件是充分必要的，这是因为

进一步讲，力学中的各种定律和各种方程，都是讲在一定条件或过程中的不变量。都可以统一纳入不变量的理论中去讨论。

从比较一般的观点要给出不变量的定义，是：一个函数f(x) 在变换群φ(g,x) 作用下称为不变量，如果有

这个定义说明不变量在任何单参数群上保持常数。在变换群中，最重要的一类群是给了x 点和y 点，若有一个g 使x 变到y 点，即

从变换的观点来看问题，不仅动力系统的任何第一积分可以看作不变量，连续介质力学中的本构关系，控制力学规律的各种方程也可以看作不变量。所以可以从不变量的角度来研究力学中的所有问题。例如，力学中量纲分析，实际上就是讨论在时间、空间和质量的度量单位变换下力学系统不变的性质。而度量单位的变换构成一个变换群。

把这个思想提升到理论高度的是一位德国女数学家诺特 (Amalie Emmy Noether, 1882-1935)，她的结果被后人称为诺特定理。这个定理是说：客观运动每一种变换群作用下的不变性都对应于一个物理量的守恒定律，反之亦然。上面说的不变量，可以推广，把一个微分方程在变换之下不变，也可以称为微分不变量。诺特定理说如果一个动力系统在—个变换下不变，则这个动力系统就存在一个守恒律。这个定律把找寻不变量的问题转化为一个寻找变换群的问题。由此打开了二十世纪整个理论研究物理的新局面。例如，力学系统在时间移动之下的不变性，对应于能量守恒定律，对于空间平移的不变性对应于动量守恒定律，对于旋转变换之下的不变性对应于角动量守恒定律等等。在电学中的电量守恒、量子力学中的宇称守恒等等，都对应于相应的变换群作用之下的不变性质。二十世纪对于基本粒子的探索，这个定律起到了举足轻重的作用，所以有的物理学家说：“它是引领现代物理前进的最重要的能够和毕达哥拉斯定理相匹敌的数学定理。”

在力学中讨论的许多变换中，还应当着重介绍的是勒让德变换。

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